Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C的直

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C的直线y=-x+2与x轴交于点D，与抛物线交于点E，且点E到x轴的距离为1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限线段CD上一点，点Q为线段CD延长线上一点，CP=DQ．点M为x轴下方抛物线上一点，当△PQM是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，N（m，12m）为平面直角坐标系内一点，直线MN交直线CD于点F，且NF=2FM，求出m的值，并判断点N是否在（1）中的抛物线上．

Answer 1

解答：解：（1）∵y=-x+2，
∴C（0，2），由题意可得出：点E的纵坐标为：-1，
∵y=-x+2，则-1=-x+2，
解得；x=3，
∴E（3，-1），
又∵C（0，2），E（3，-1）在抛物线y=x²+bx+c上，
∴

c＝2 9+3b+c＝?1

，
解得：

c＝2 b＝?4

，
∴抛物线y=x²-4x+2；

（2）如图1，∵y=-x+2，
∴OC=OD=2，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴CD=2

2

，
∵CP=DQ，
∴PQ=CD=2

2

，
∵△PMQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，
∴∠MPQ=45°，
∴∠OCD=∠MPQ，
∴PM∥y轴，设P（t，-t+2），
由PQ=2

2

得，PM=2，
∴M点的坐标为：（t，-t），
将M（t，-t）代入抛物线y=x²-4x+2，得-t=t²-4t+2，
解得：t₁=-1，t₂=2，当t=2时，P与D点重合，故t₂=2（舍去），
∴M（1，-1）；

（3）过点N作NH∥PM交直线CD于H，则∠MPE=∠PHN，∠PMF=∠MNH，
∴△FNH∽△FMP，
∴

NF

MF

=

NH

PM

，
∵NF=2MF，∴NH=2PM，∴NH=4，
①如图2，当N在H点上方时，H（m，

1

2

m-4），
把点H（m，

1

2

m-4）代入y=-x+2中，得

1

2

m-4=-m+2，
解得：m=4，
∴N（4，2），
抛物线y=x²-4x+2，
∴N点在抛物线上；
②如图3，当点N在H点下方时，同理可得出：H（m，

1

2

m+4），
把点H（m，

1

2

m+4）代入y=-x+2中，

1

2

m+4=-m+2，
解得：m=-

4

3

，
∴N（-

4

3

，-

2

3

），
抛物线y=x²-4x+2，当x=-

4

3

时，y=

82

9

≠-

2

3

，
∴N点不在抛物线上．
 综上所述N（4，2）在抛物线上．