Question

当x＞1时，求证：（x+1）lnx＞2x-2

当x＞1时，求证：（x+1）lnx＞2x-2．

Answer 1

证：令f（x）=（x+1）lnx-2x+2；
f′（x）=lnx+

x+1

x

?2＝lnx+

1

x

?1，令g（x）=f′（x），则：
g′（x）=

x?1

x2

，∵x＞1，∴g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=0，即f′（x）＞0；
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0；
∴（x+1）lnx＞2x-2．