Question

线性代数的一道题，关于向量空间的。

设向量a1=(1,1,0,1)a2=(2,1,1,-1)a3=(0,1,1,-1)a4=(3,3,2,-3)，求由它们生成的向量空间V=L(a1，a2，a3，a4）的维数和一组正交规范基。谢谢。

Answer 1

矩阵det(A)=4，不为0，该矩阵满秩，因此该向量空间维数为4

如果没有别的要求，正交规范基就是
alpha1=[1 0 0 0]
alpha2=[0 1 0 0]
alpha3=[0 0 1 0]
alpha4=[0 0 0 1]

追问

答案不是这样。不过我不知道答案是不是正确的。它写的是维数为3，一组正交规范基是（（1/3）＾1/2，（1/3）＾1/2，0，-（1/3）＾1/2），（（4/15）＾1/2，-（1/15）＾1/2，（9/15）＾1/2，（1/15）＾1/2），（-（4/10）＾1/2，（1/10）＾1/2，（4/10）＾1/2，-（1/10）＾1/2））。刚学，我还不太理解这种题，也不知道怎么推的。是不是答案错了

追答

正交规范基需要

1. 所有基底正交

2. 所有基底长度为1

对于一个向量空间，它其实有无数正交规范基。

有的时候有些问题要求用某些特定的方法得到正交规范基，最常用的是施密特正交法。

但是你的标准答案似乎也不是施密特法得到的。因为施密特法的第一个基底应该是（1/3）＾1/2，（1/3）＾1/2，0，+（1/3）＾1/2），最后一位是正号而不是负号。后面的基底也由于第一个基底的不同而不同了。

Answer 2

矩阵det(A)=4，不为0，该矩阵满秩，因此该向量空间维数为4

如果没有别的要求，正交规范基就是
alpha1=[1 0 0 0]
alpha2=[0 1 0 0]
alpha3=[0 0 1 0]
alpha4=[0 0 0 1]