Question

已知数列{an}的前n项和sn满足sn=an^2+bn,求证{an}是等差数列

Answer 1

n=1时,a1=S1=a+b
n≥2时，Sn=a×n²+bn
S(n-1)=a×(n-1)²+b
两式相减得：an=Sn-S(n-1)=2a×n-a
∴a(n-1)=2a×(n-1)-a
∴an-a(n-1)=2a
∴﹛an﹜是等差数列

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追问

为什么n要分情况呢？

追答

只是为了更规范，因为后面出现了S(n-1),
如果n=1的话就成了S0，没意义

Answer 2

证明：
当n≥2时：
an = Sn - S(n-1)
= an² + bn-a(n-1)²-b(n-1)
= an² + bn-an²+2an-a-bn+b
= an²-an² + bn-bn+2an-a+b
= b-a + 2a*n
上式可写成：
an = a1 + (n-1)d ,其中a1 = a+b，d = 2a
并且当n = 1 时：
S1 = a1 = a + b
所以{an}是等差数列

Answer 3

a、b是常数吧
an=sn-sn-1=（an²+bn）-【a(n-1)²+b(n-1）】=2an+b-a
所以an-an-1=2a 为常数
所以an为等差数列

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