Question

已知函数f（x）=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值．（I）求a与b满足的关系式；（II）若a∈R，求函

已知函数f（x）=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值．（I）求a与b满足的关系式；（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）f ′ （x）=1- a x - b x 2 ， ∵函数f（x）=x-alnx+ b x 在x=1处取得极值，∴f ′ （1）=0，∴1-a-b=0，即b=1-a． （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由（Ⅰ）可得f ′ （x）= 1- a x - 1-a x 2 = x 2 -ax-(1-a) x 2 = (x-1)[x-(a-1)] x 2 ． 令f ′ （x）=0，则x 1 =1，x 2 =a-1． ①当a＞2时，x 2 ＞x 1 ，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f ′ （x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f ′ （x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）． ②当a=2时，f ′ （x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增． ③当a＜2时，x 2 ＜x 1 ，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f ′ （x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f ′ （x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．