Question

经过双曲线 x 2 - y 2 3 =1 的左焦点F 1 作倾斜角为 π 6 的直线AB，分别

经过双曲线 x 2 - y 2 3 =1 的左焦点F 1 作倾斜角为 π 6 的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．（Ⅰ）求弦长|AB|；（Ⅱ）设F 2 为双曲线的右焦点，求|BF 1 |+|AF 2 |-（|AF 1 |+|BF 2 |）的长．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵双曲线的左焦点为F 1 （-2，0），设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 直线AB的方程可设为 y= 3 3 (x+2) ，代入方程 x 2 - y 2 3 =1 得，8x 2 -4x-13=0，（4分） ∴ x 1 + x 2 = 1 2 ， x 1 x 2 =- 13 8 ， ∴ |AB|= 1+ k 2 ?| x 1 - x 2 |= 1+ 1 3 ? ( 1 2 ) 2 +4× 13 8 =3 （8分） （Ⅱ）∵F 2 为双曲线的右焦点，且双曲线的半实轴长a=1 ∴|AF 1 |+|BF 2 |-（|BF 1 |+|AF 2 |）=（|AF 1 |-|AF 2 |）+（|BF 2 |-|BF 1 |）=4a=4（12分）