Question

已知函数f（x）=1-2ax-a2x（a＞0，a≠1）．（1）当a=3时，求函数f（x）的值域；（2）当a＞1时，当x∈[-2

已知函数f（x）=1-2ax-a2x（a＞0，a≠1）．（1）当a=3时，求函数f（x）的值域；（2）当a＞1时，当x∈[-2，1]时，f（x）的最小值为-7，求a的值．

Answer 1

（1）当a=3时，函数f（x）=1-2×3^x-3^2x=-（3^2x+2×3^x）+1=-（3^x+1）²+2，
∴（3^x+1）²＞1，∴f（x）=-（3^x+1）²+2＜1，故函数f（x）的值域为（-∞，1）．
（2）当a＞1时，∵x∈[-2，1]时，∴a^x∈[

1

a2

，a]．
令a^x=t，则t∈∈[

1

a2

，a]，且f（x）=g（t）=-（t+1）²+2 在[

1

a2

，a]上是减函数，
故当t=a时，函数g（t）取得最小值为-（a+1）²+2=-7，故有（a+1）²=9，∴a=2．