Question

如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数．（1）若∠ABC=50°，

如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠P=______，若∠ABC+∠ACB=110°，则∠P=______；（2）若∠BAC=90°，则∠P=______；（3）从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是______；（4）证明第（3）题中你所猜想的结论．

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=80°，
∴∠ACD=180°-80°=100°，
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×50°=25°，∠PCD=

1

2

∠ACD=

1

2

×100°=50°，
在△PCD中，∠PBC+∠P=∠PCD，
即25°+∠P=50°，
解得∠P=25°；
∵∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠A=2∠P，
∠P=

1

2

∠A=

1

2

×70°=35°；

（2）解：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=

1

2

∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠P=45°；

（3）由计算可知，∠P=

1

2

∠A；

（4）证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=

1

2

∠BAC．
故答案为：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P=

1

2

∠A．