Question

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（2）设g（x）=（1-a）x

已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；（2）设g（x）=（1-a）x，其中0＜a＜1，判断方程f（x）=g（x）在区间[1，e]上的解的个数．（其中e为无理数，约等于2.7182…且有e2-2e＞e-1）

Answer 1

（本题满分14分）
解：（1）由f′（x）=2x?(2a+1)+

a

x

=

2x2?(2a+1)x+a

x

=

(x?a)(2x?1)

x

=0，
得x＝a或x＝

1

2

，（2分）
①当a≤1时，f'（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-2a；
②当1＜a＜e时，x∈（1，a）时，f'（x）＜0，
x∈（1，a）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，a）上是减函数，在（a，e）上是增函数，
∴f（x）_min=f（a）=-a²-a+alna；
③当a≥e时，f'（x）≤0，∴f（x）在[1，e]上是减函数，
∴f（x）_min=f（e）=e²-2ae-e+a．
综上所述：f（x）_min=

?2a，a≤1 ?a2?a+alna，1＜a＜e e2?2ae?e+a，a≥e

．…（6分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx（x＞0）．
由h'（x）=2x?(a+2)+

a

x

=

2x2?(a+2)x+a

x

=

(2x?a)(x?1)

x

=0，
解得x＝1或x＝

a

2

，
由0＜a＜1，知

a

2

＜1，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0，则h（x）在[1，e）上是增函数，
又h（1）=-1-a＜0，h（e）=e²-（a+2）e+a=（e-1）（

e2?2e

e?1

?a），
由已知e²-2e＞e-1＞0，得

e2?2e

e?1

＞1，
∴

e2?2e

e?1

?a＞0，h（e）＞0，
∴函数h（x）在[1，e]上有唯一的零点，
∴方程f（x）=g（x）在区间[1，e]上存在唯一解．