Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2BC=2，CD=3．（1）求证：PE∥平面BDM；　（2）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BE，因为BC∥AD，DE=BC，
所以四边形BCDE为平行四边形
连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，
又MO?平面BDM，PE?平面BDM，
所以PE∥平面BDM．
（2）解：V_P-DMB=V_P-DBC-V_M-DBC，
由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，
所以PE是三棱锥P-DBC的高，且PE＝

3

由（1）知MO是三棱锥M-DBC的高，MO＝

3

2

，S△BDC＝

3

2

，
所以VP?DBC＝

1

2

，VM?DBC＝

1

4

，则VP?DMB＝

1

4

．