Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵
BE＝CF
∠B＝∠C
BD＝EC
，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．

Answer 2

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，
∴BD=EC．
在△DBE和△ECF中，

BE＝CF  ∠B＝∠C  BD＝EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）     
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠BDE+∠DEB=110°． 
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

Answer 3

证明：∵AB=AC ∴∠B=∠C． 在△DBE和△ECF中 ∵ BE＝CF ∠B＝∠C BD＝EC ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）． ∴DE=EF． ∴DEF是等腰三角形． （2）解：∠A=40°，∠B=∠C， ∴∠B=∠C=70°． ∴∠BDE+∠DEB=110°． △DBE≌△ECF． ∴∠FEC=∠BDE， ∴∠FEC+∠DEB=110°，全文