Question

如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，M、N分别为OA、OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出

如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，M、N分别为OA、OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出确定点M、N位置的方法，并求出最小周长．

Answer 1

作点P关于OA的对称点P₁，点P关于OB的对称点P₂，连结P₁P₂，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，即为线段P₁P₂的长，
连结OP₁、OP₂，则OP₁=OP₂=3，
又∵∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴△OP₁P₂是等边三角形，
∴P₁P₂=OP₁=3，
即△PMN的周长的最小值是3．

Answer 2

连接OM，ON，
∵∠AOB=30°；点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠MON=60°，MO=OP=ON，ME=PE，PF=FN，
∴△MON是等边三角形，
∵OP=6，
∴△PEF的周长等于MN=6．
故答案为：6．


Answer 3

作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，

与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，

△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，即为线段P1P2的长，

连结OP1、OP2，则OP1=OP2=3，

又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，

∴△OP1P2是等边三角形，

∴P1P2=OP1=3，

即△PMN的周长的最小值是3．