Question

在三角形abc中内角abc的对边分别为abc且面积为1/4(b^2+c^2-a^2),则角A为

在三角形abc中内角abc的对边分别为abc且面积为1/4(b^2+c^2-a^2),则角A为

Answer 1

解：由题知S=1/4(b^2+c^2-a^2)

根据余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA

则b^2+c^2-a^2=2bccosA

即S=1/2bccosA

又有三角形面积公式：S=1/2bcsinA

∴S=1/2bccosA=1/2bcsinA即sinA=cosA

∵∠A是三角形中的角

∴0°＜∠A＜180°

故∠A=45°

【解析】本题考察三角形的边角关系，主要是余弦定理和三角函数算面积公式的运用。

【三角函数算面积公式】在△ABC中，其面积就应该是底边对应的高的1/2，不妨设BC边对应的高是AD，那么△ABC的面积就是AD*BC*1/2。而AD是垂直于BC的，这样△ADC就是直角三角形了，显然sinC=AD/AC，由此可以得出，AD=AC*sinC，将这个式子带回三角形的计算公式中就可以得到：S△ABC=AC*BC*sinC*1/2。同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。

字母表达式：s=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA

【余弦定理】在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去

这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．

如上图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

Answer 2

由面积公式可得S=1/2bcsinA=1/4(b^2+c^2-a^2),化简得
b^2+c^2-a^2=2bcsimA
又cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以(b^2+c^2-a^2)=2bccosA
即:2bccosA=2bcsimA
所以tanA=1
所以角A=45度

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Answer 3

由面积公式可得S=1/2bcsinA=1/4(b^2+c^2-a^2),化简得
b^2+c^2-a^2=2bcsimA
又cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
所以(b^2+c^2-a^2)=2bccosA
即:2bccosA=2bcsimA
所以tanA=1
所以角A=45度

Answer 4

90°。勾股定理