Question

基本同余定理证明

【定义】设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.显然,有如下事实(1)若a≡0(mod m),则m|a;(2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).则有m|(r1-r2).∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m,即r1-r2=0,∴r1=r2. 这里为什么r1=r2？还是不懂

Answer 1

问：请解释
m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)

m|(r1-r2).∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m,即r1-r2=0

答：
0<=|r1-r2|<m，m|(r1-r2)
令r1-r2=m*t，t为整数。于是0<=|t|<1,于是t=0
即r1-r2=0，于是得r1=r2

追问

①能把 ∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m 再解释一下吗?
②为什么|t|<1？是不是因为若|t|≥1，则|r1-r2|≥m了？

追答

(1)
0<=r2<m,等效于-m<-r2<=0
与 0<=r2<m 相加得 -m<r1-r2<m, 即 |r1-r2|<m.
(2)
你的说法正是我要说的。正是这样。