Question

已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BC于E，交BD于F，求证：OF=2/1CE

已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BC于E，交BD于F，求证：OF=2/1CE

Answer 1

证明：
过O点作OP∥BC交AE于P
∵点O是AC中点
∴OP是三角形AEC的中位线
∴OP= 1/2CE，OP∥AD
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°
∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°
∵∠EAC=∠BAE
∴∠OPF=∠OFP
∴ΔOPF是等腰三角形，OP=OF
∴OF=1/2CE
过E作EH⊥AC交AC于H，
∵BD⊥AC
∴EH‖BD
∵∠BAE=∠HAE EB⊥AB，EH⊥AH
∴EB=EH（角平分线上一点，到两边距离相等）
∴△ABE≌△AHE (角角边)
∴AB=AH
∵AB=√2AO
∴AH=√2AO
∵△AOF∽△AHE
∴AH：AO=EH：OF
∴EH=√2OF
三角形ECH中 CE=√2EH
∴CE=2OF
∴OF=1/2CE