Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．（2）

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=______；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=______．（用n的代数式表示）

Answer 1

（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，

∠EAB＝∠FBC AB＝BC ∠ABC＝∠C＝90°

，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：如图2，连接AE，过点N作NH⊥AD于H，
由折叠的性质得，AE⊥NM，
∴∠DAE+∠AMN=90°，
∠MNH+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠MNH，
在△ADE和△NHM中，

∠DAE＝∠MNH AD＝NH ∠MHN＝∠D＝90°

，
∴△ADE≌△NHM（ASA），
∴AE=MN，
∵DE=5，
∴由勾股定理得，AE=

122+52

=13，
∴MN=13；

（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
∵∠FOH=90°，
∴∠MFE=∠NAH，
又∵∠EMF=∠HNG=90°，
∴△EFM∽△HNG，
∴

GH

EF

=

GN

FM

，
图3，GN=2FM，
∴GH=2EF=2×4=8，
图4，GN=nFM，
∴GH=nEF=4n．
故答案为：8，4n．