Question

已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1 ，g（x）=（lnx-1）e x +x（其中e为自然对数的底数）．（1）

已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1 ，g（x）=（lnx-1）e x +x（其中e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x 0 ∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直？若存在，求出x 0 的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：n n e m ≥m n e n ．

Answer 1

（1）∵ f(x)= a x +lnx-1 ，∴x∈（0，+∞）， f ′ (x)=- a x 2 + 1 x = x-a x 2 ． 若a≤0，，则f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增； 若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减， 当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增， 若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减． （2）∵g（x）=（lnx-1）e x +x，x∈（0，+∞）， g′（x）=（lnx-1）′e x +（lnx-1）（e x ）′+1 = e x x +(lnx-1) e x +1 =（ 1 x +lnx-1 ）e x +1， 由（1）易知，当a=1时，f（x）= 1 x +lnx-1 在（0，+∞）上的最小值：f（x） min =f（1）=0， 即x 0 ∈（0，+∞）时， 1 x 0 +ln x 0 -1≥0 ． 又 e x 0 ＞0 ，∴ g ′ ( x 0 )=( 1 x 0 +ln x 0 -1) e x 0 +1≥ 1＞0． 曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直等价于方程g′（0）=0有实数解． 而g′（x 0 ）＞0，即方程g′（x 0 ）=0无实数解．故不存在． （3）证明：由（2）知 1 x +lnx-1≥0 ， 令x= n m ，得 m n +ln n m -1≥0 ， ∴ln n m ≥1- m n ， ∴ nln n m ≥n-m ， ∴ ( n m ) n ≥ e n-m ， ∴n n e m ≥m n e n ．