Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3 b=2asinB ．（1）求角A的大小；

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3 b=2asinB ．（1）求角A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

（1）由 3  b=2asinB 得： 3 sinB=2sinAsinB ， 又sinB≠0， ∴ sinA= 3 2 ， 由锐角△ABC得：A=60°； （2）∵a=6，A=60°，设三角形外接圆的半径为R， ∴根据正弦定理得： a sinA = b sinB = c sinC =2R，又 a sinA =4 3 ， ∴2R=4 3 ， ∴b=4 3 sinB，c=4 3 sinC， 又A=60°，∴B+C=120°，即C=120°-B， ∴ b+c=4 3 (sinB+sinC)=4 3 (sinB+sin(120° -B)) =4 3 （sinB+sin120°cosB-cos120°sinB） =4 3 （sinB+ 3 2 cosB+ 1 2 sinB） =6 3 sinB+6cosB =12（ 3 2 sinB+ 1 2 cosB） =12sin（B+30°）， ∵△ABC为锐角三角形， ∴B∈（30°，90°）， ∴B+30°∈（60°，120°） ∴ 3 2 ＜sin(B+30° )≤1 ， ∴ b+c∈(6 3  ， 12 ] ．