Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1，如果对任意x 1 ，x 2

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1，如果对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞） f′（x）= 当a≥0时，f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x= 则当x∈（0， ）时，f′（x）>0； x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0 故f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减。 （2）不妨假设x 1 ≥x 2 ，而a＜-1， 由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减， 从而 x 1 ，x 2 ∈（0，+∞）， |f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |等价于 x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），f（x 2 ）+4x 2 ≥f（x 1 ）+4x 1 ① 令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）= +2ax+4 ①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减， 即 +2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立 从而a≤ 故a的取值范围为（-∞，-2]。