Question

高中双曲线的证明问题！

3．已知双曲线x2-y2=a2上任一点P（x，y）到中心的距离为d，它到两焦点的距离分别为d1，d2试证明d，d1，d2之间满足关系
d²=d1d2。

Answer 1

证明：焦点在x轴上的等轴双曲线和在y轴上的等轴双曲线证法相同,不妨设双曲线为x²-y²=a²

又因为证明此点在左支上或者右支上的方法相同,所以不妨设P(x,y)在右支上
∴b=a,c=√(a²+b²)=√2a
左准线：x=-a²/c=-a/√2,右准线：x=a²/c=a/√2
设P点到左焦点的距离为m,到右焦点的距离为n
根据双曲线定义：到定点距离与到定直线距离的比为一个常数e,且这个常数e大于1的点的集合为双曲线.
所以m/(x+a/√2)=e,n/(x-a/√2)=e,∴m=(x+a/√2)e,n=(x-a/√2)e
e=c/a=√2
∴mn=(x²-a²/2)e²=2x²-a²
又∵P到原点的距离的平方为：x²+y²=x²+(x²-a²)=2x²-a²=mn
∴P点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项