Question

已知函数f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=0，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＞1时

已知函数f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=0，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅱ）f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）＜0，在（1，+∞）恒成立．
①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数．
∴f（x）＞f（1）=0，
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1，lnx?

(x?1)(ax?a+1)

x

＜0，在（1，+∞）恒成立，
不妨设h(x)＝lnx?

(x?1)(ax?a+1)

x

，x∈（1，+∞）
h′(x)＝?

ax2?x?a+1

x2

＝?

(x?1)(ax+a?1)

x2

，x∈（1，+∞）
h′(x)＝0，x1＝1，x2＝

1?a

a

，
若a＜0，则x2＝

1?a

a

＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若0＜a＜

1

2

，x∈(1，

1?a

a

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若a≥

1

2

，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（1）=0（符合题意）．
综上所述若x＞1时，f（x）＜0恒成立，则a≥

1

2

．