Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相

如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210，255．（1）求tan(?19π4+α+β)的值；（2）求α+2β的值．

Answer 1

（1）由条件得cosα＝

2

10

，cosβ＝

2 5

5

，α为锐角，
故sinα＞0且sinα＝

7 2

10

．同理可得sinβ＝

5

5

，
因此tanα＝7，tanβ＝

1

2

．
∴tan(α+β)＝

tanα+tanβ

1?tanαtanβ

＝

7+ 1 2

1?7× 1 2

＝?3．
∴tan(?

19π

4

+α+β)＝tan(α+β?

3π

4

)＝

tan(α+β)?tan 3π 4

1+tan(α+β)tan 3π 4

＝?

1

2

．
（2）tan(α+2β)＝tan[(α+β)+β]＝

?3+ 1 2

1?(?3)× 1 2

＝?1，
∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜α+2β＜

3π

2

，从而α+2β＝

3π

4

．