如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1;(
如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1;(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值;(3...
如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1;(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值;(3)求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.
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解答:解:(1)证明:取AB1的中点E,AB的中点F.连接DE、EF、CF.
故EF
BB1.又CD
BB1.
∴四边形CDEF为平行四边形,∴DE∥CF.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.
△ABC为正三角形.CF?平面ABC,
∴CF⊥BB1,CF⊥AB,而AB∩BB1=B,∴CF⊥平面ABB1A1,
又DE∥CF,∴DE⊥平面ABB1A1.
又DE?平面AB1D.所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(4分)
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(
,
,0),C(0,a,0),D(0,a,
),B1(0,0,a),B(0,0,0)
设异面直线AB1与BC所成的角为θ,则cosθ=
=
,
故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为
,
(3)由(2)得
=(?
,?
,a),
=(?
,
,
),
设n=(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量.
由
得,
故EF
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. |
1 |
2 |
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1 |
2 |
∴四边形CDEF为平行四边形,∴DE∥CF.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.
△ABC为正三角形.CF?平面ABC,
∴CF⊥BB1,CF⊥AB,而AB∩BB1=B,∴CF⊥平面ABB1A1,
又DE∥CF,∴DE⊥平面ABB1A1.
又DE?平面AB1D.所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(4分)
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(
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2 |
a |
2 |
a |
2 |
设异面直线AB1与BC所成的角为θ,则cosθ=
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4 |
故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为
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(3)由(2)得
AB1 |
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2 |
a |
2 |
AD |
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2 |
a |
2 |
a |
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设n=(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量.
由
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