Question

高中数学，三角恒等变换的题目

如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB=1，过P做圆的切线PC，使得PC=1，连接BC,当P在什么位置时，四边形ABCP的面积为1/2？

Answer 1

设∠PAB=x，因为A,P,C,B组成四边形，所以0＜x＜90°。
四边形ABCP的面积是Rt△PAB的面积与△PBC面积之和。
Rt△APB中，AP=cosx，PB=sinx，所以Rt△PAB的面积是1/2sinxcosx=1/4sin2x。
△PBC的面积是1/2×PC×PB×sinx=1/2(sinx)^2=1/4-1/4cos2x。
所以四边形APCB的面积是1/4sin2x+1/4-1/4cos2x=1/4(1+sin2x-cos2x)。
由1/4(1+sin2x-cos2x)=1/2得sin2x-cos2x=1。两边平方得sin2x*cos2x=0。
由sin2x-cos2x=1，sin2x*cos2x=0得sin2x=1，cos2x=0或，所以x=45°。
此时点P的位置是圆弧AB的中点。