Question

选修4--4；坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C： x＝2cosβ y＝2sinβ (β为参数)上，对应参数分别

选修4--4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：
x＝2cosβ
y＝2sinβ
(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

Answer 1

⑴由题意可知P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)
中点坐标公式可知：M(cosα+cos2α，sinα+sin2α）
∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α，y=sinα+sin2α（α为参数，0＜α＜2π）
⑵M点到坐标原点的距离为
d=√x∧2+y∧2=
√(cosα+cos2α)^2+(sinα+sin2α)^2
=√2+2（cosαcos2α+sinαsin2α）
=√2+2cosα（0＜α＜2π）
当α=π时，d=0
∴M的轨迹过原点