Question

已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然数的底数,a属于R （1）当a<0时，解不等式

f(x)>0, (2)若f(x）在[-1,1]上是单调增函数，求a的取值范围 （3）当a=0时，求整数K的所有值，使方程f(x)=x+2在[K,k+1]上有解

Answer 1

1. ∵e^x>0,f(x)>0
   

   ∴ax^2+x>0

   ∴ax(x+1/a)>0

   解得x∈(0,-1/a）

2. 求导f'(x)=（ax^2+x）'(e^x)+(e^x)'(ax^2+x)

               =（2ax+1）(e^x)+(e^x)(ax^2+x)

               =2axe^x+e^x+ax^2e^x+xe^x

               =e^x(ax^2+x+2ax+1)

   依题意，可知在区间[-1,1]上，f'(x)>0

   ∵e^x>0,∴令g(x)=ax^2+(2a+1)x+1>0

   ①a=0，则x+1>0,x>-1,符合题意

   ②a>0,则g(x)开口向上

   对称轴-1-1/2a<-1

   ∴g(-1)=a-2a-1+1=-a>0

   ∵a>0,∴-a<0

   不合题意，舍去

   ③a<0,则g(x)开口向下

   ∴g(-1)≥0,g(1)≥0

   ∴-a≥0,3a+2≥0

   ∴-2/3≤a<0

   综上所述,a∈[-2/3,0]

3. ∵令F(x)=x(e^x)-x-2

   F（x）在在[K,k+1]上有解

   F'(x)=e^x+xe^x-1

   ∵F'(x)在（0，+∞）上大于0，在（-∞，0）上小于0

   所以F（x）在区间（0，+∞）上递增，在区间（-∞，0）递减

   F（0）=-2<0

   ∴F（x）=0有两个解,分别在区间（0，+∞）和（-∞，0）上

   F(1)=e-3<0,F（2）=2e^2-4>0

   F(-1)=-1/e-1<0,F(-2)=-2/e^2<0,F(-3)=-3/e^3+1>0

   ∴F（x）=0的两个解分别在区间(1,2)和(-3,-2)

   所以K=1或-3

哪里不理解的话可以追问