Question

如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的

如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动. （1）若∣x＋2y－5∣＋∣2x－y∣＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标.（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由. （3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由.

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Answer 1

（1）A（－1，0），B（0，2）（2）不发生变化,理由见解析（3）∠AGH＝∠BGC, 理由见解析

解：（1）解方程组： 得：                                                ……3分 ∴A（－1，0），B（0，2）                                    ……4分 （2）不发生变化.                                                   ……5分 ∠P＝180°－∠PAB－∠PBA ＝180°－ （∠EAB＋∠FBA）                                ……6分 ＝180°－ （∠ABO＋90°＋∠BAO＋90°）                    ……7分 ＝180°－ （180°＋180°－90°） ＝180°－135° ＝45°                                                     ……8分 （3）作GM⊥BF于点M                                               ……9分 由已知有：∠AGH＝90°－ ∠EAC ＝90°－ （180°－∠BAC） ＝ ∠BAC                                        ……10分 ∠BGC＝∠BGM－∠BGC ＝90°－ ∠ABC－（90°－ ∠ACF） ＝ （∠ACF－∠ABC） ＝ ∠BAC                                        ……11分 ∴∠AGH＝∠BGC                                        ……12分 （1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，非负数的性质得，x+2y-5≥0，2x-y≥0；由此解不等式即可求得，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动，∴A（-1，0），B（0，2）； （2）不发生变化．要求∠P的度数，只要求出∠PAB+∠PBA的度数．利用三角形内角和定理得，∠P=180°-∠PAB-∠PBA；角平分线性质得，∠PAB= ∠EAB，∠PBA= ∠FBA，外角性质得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，则可求∠P的度数； （3）试求∠AGH和∠BGC的大小关系，找到与它们有关的角．如∠BAC，作GM⊥BF于点M，由已知有可得∠AGH与∠BGC的关系．

Answer 2

解：（1）由题意，得 ，
解得：，
∴A（-1，0），B（0，2）；
（2）作GM⊥BF于点M，
由已知有：∠AGH=90°-∠EAC=90°-（180°-∠BAC），
=90°-?180°+∠BAC，
=90°-90°+∠BAC，
=∠BAC，
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-∠ABC-（90°-∠ACF）
=（∠ACF-∠ABC）=∠BAC
∴∠AGH=∠BGC；
（3）∵∠BAO-∠N=m°，
∴∠BAO=∠N+m°，
∵∠NAM=∠NOB，
∴∠N+∠NAM=∠NOB+∠N=∠AMO，
∵∠MAO+∠AOM+∠AMO=180°，
∴∠MAO+∠AMO+∠BOM=180°-90°=90°，
∴∠MAO+∠NAM+∠N+∠NOB=90°，
∴∠N+m°+∠NOB+∠N+∠NOB=90°，
即：∠N+∠NOB=（90°-m°），
∴∠AMO=（90-m）°。