Question

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB 2 =AE·AC，BD=8， 小题1:判断△ABD

已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB 2 =AE·AC，BD=8， 小题1:判断△ABD的形状并说明理由；小题2:求△ABD的面积

Answer 1

小题1:△ABD是等腰三角形 如图，连接OA、OB，交DB于F； ∵AB 2 =AE?AC，即 ； 又∵∠BAE=∠CAB， ∴△ABE∽△ACB； ∴∠DBA=∠BCA； 而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA； ∴AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形。（4分） 小题2:∵AB=AD， ∴OA⊥BD，且F为BD的中点； ∴BF=4； 在Rt△BOF中，OB 2 =BF 2 +OF 2 ，∴OF=3； 而OA=5，∴AF=2； ∴S △ ABD = BD×AF=8．（10分）

求△ABD的面积，已知了底边BD的长，因此只需求出BD边上的高即可．连接OA、OB，交DB于F；已知AB 2 =AE?AC，易证得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根据垂径定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，则AF=2，由此可求得△ABD的面积．