Question

如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线 y= k x (x＜0) 于点N，连ON，且S △OB

如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线 y= k x (x＜0) 于点N，连ON，且S △OBN =10． （1）求双曲线的解析式；（2）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=-2于点Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直线PQ的解析式；（3）如图3，已知A（2，0）点M为双曲线上一点，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，设梯形CEFA的面积为S，且AF?EF= 2 3 S，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵当y=0时，即-x+4=0， 解得：x=4， 当x=0时，y=4， ∴点B的坐标为：（4，0），点C的坐标为（0，4）， ∴OB=OC=4， ∵S △OBN =10， ∴S △OBN =S △OCN +S △OBC =10， 设点N的坐标为（x，y）， ∴ 1 2 ×4×|x|+ 1 2 ×4×4=10， ∴x=-1， ∴y=-x+4=1+4=5， ∴点N的坐标为：（-1，5）， ∴k=xy=-5， ∴双曲线的解析式为：y=- 5 x ； （2）作PE⊥y轴于E，作QF⊥x轴于F， 则∠PEC=∠QFB=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC， ∵∠PCB=∠QBC， ∴∠PCE=∠QBF， 在△PCE和△QBC中， ∠PEC=∠QFB ∠PCE=∠QBF PC=QB ， ∴△PCE≌△QBF（AAS）， ∴PE=QF=2， 令x=-2，则y=- 5 -2 = 5 2 ， ∴P点的坐标为：（-2， 5 2 ）， ∵PQ ∥ BC， ∴设直线PQ的解析式为：y=-x+b， 将P（-2， 5 2 ）代入得： 5 2 =2+b， 解得：b= 1 2 ， ∴平移后的直线PQ的解析式为：y=-x+ 1 2 ； （3）作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，连接EH， ∵CE⊥EF，FA⊥EF， ∴四边形AFEG是矩形， ∴∠GAF=90°，EG=FA， ∵S= 1 2 （AF+EC）?EF，AF?EF= 2 3 S， ∴AF?EF= 1 3 （AF?EF+EC?EF）， ∴EC=2AF， ∴EG= 1 2 EC， 即EG=GC， ∵GH⊥EC， ∴CH=EH， ∴∠CEH=∠ECH， ∵∠HEO+∠CEH=∠EOH+∠ECH=90°， ∴∠HEO=∠EOH， ∴EH=OH= 1 2 OC=2， ∵OA=2， ∴OH=OA， ∴∠HAO=45°， ∴∠OAF=45°， ∴OI=OF=1， ∴点F的坐标为（1，-1）， 设直线EF的解析式为：y=kx， ∴k=-1， ∴直线EF的解析式为：y=-x， 联立： y=- 5 x y=-x ， 解得： x= 5 y=- 5 （舍去）， x=- 5 y= 5 ． ∴点M的坐标为：（- 5 ， 5 ）．