Question

若不等式 |x-2|+|x+3|≥a+ 4 a 对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是______

若不等式 |x-2|+|x+3|≥a+ 4 a 对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵不等式 |x-2|+|x+3|≥a+ 4 a  对任意的实数x恒成立，∴|x-2|+|x+3|的最小值大于或等于 a+ 4 a ， 而|x-2|+|x+3|表示数轴上的x到-3和2的距离之和，最小值为 5，∴5≥ a+ 4 a ， 当a＜0时，不等式显然成立．当a＞0时，有  （a-1）（a-4）≤0，∴1≤a≤4， 综上，a＜0或1≤a≤4， 故答案为：{a|a＜0或1≤a≤4}．