Question

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F（-2，0）①求双曲线方程②设Q是双曲线上一点，且过点F、Q

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F（-2，0）①求双曲线方程②设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若 | MQ |=2| QF | ，求直线l的方程．

Answer 1

①由题意设所求双曲线方程是： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(a＞0，b＞0) 则有 e= c a =2，c=2 ，∴a=1，则b= 3 ∴所求的双曲线的方程为 x 2 - y 2 3 =1 ； ②∵直线l与y轴相交于M，且过焦点F（-2，0）， ∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y=k（x+2）． 令x=0得M（0，2k） ∵ | MQ |=2| QF | ，且M、Q、F共线于l ∴ MQ =2 QF 或 MQ =-2 QF ． 当 MQ =2 QF 时，Q分 MF 所成的比λ=2，设Q（x Q ，y Q ） 则 x Q = 2×(-2) 1+2 =- 4 3 ， y Q = 2k+2×0 1+2 = 2 3 k 因为Q在双曲线上，所以 16 9 - 4 k 2 27 =1 ，解得k= ± 21 2 ． 当 MQ =-2 QF 时，Q分 MF 所成的比λ=-2， 同理求得Q（-4，-2k），代入双曲线方程得， 16- 4 3 k 2 =1 ，解得k= ± 3 2 5 ． 则所求的直线l的方程为： y=± 21 2 (x+2) 或 y=± 3 2 5 (x+2) ．