Question

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a(a>3)an+1=Sn+3^n,n∈N*).

（1）设bn=sn-3^n,求数列｛bn｝的通项公式；（2）若cn=3log2（bn/a-3) +1 (n∈N*),证明：对任意的n∈N*，不等式（1+1/c1)(1+1/c2)...(1+1/cn)>三次√（3n+1） 恒成立

Answer 1

（1）
a（n+1）=Sn+3ⁿ
S（n+1）-Sn=Sn+3ⁿ
S（n+1）-3ⁿ⁺¹=2（Sn-3ⁿ）
b（n+1）=2bn，b1=S1-3=a-3.
∴数列{bn}是首项b1=a-3，公比q=2的等比数列。
bn=b1×qⁿ⁻¹=（a-3）2ⁿ⁻¹
综上，数列{bn}的通项公式为bn=（a-3）2ⁿ⁻¹。

（2）
题目没打错吗，左边从第一项就开始小于右边。
cn=3log（2）（bn/（a-3））+1=3log（2）（2ⁿ⁻¹）+1=3×2ⁿ⁻¹+1.
1+1/cn=1+1/（3×2ⁿ⁻¹+1）=（3×2ⁿ⁻¹+2）/（3×2ⁿ⁻¹+1）
左边=（3+2）/（3+1）×（3×2+2）/（3×2+1）×...×（3×2ⁿ⁻²+2）/（3ⁿ⁻²+1）×（3×2ⁿ⁻¹+2）/（3×2ⁿ⁻¹+1）
=2ⁿ⁻¹（（3+2）/（3+1）×（3+1）/（3×2+1）×...×（3×2ⁿ⁻³+1）/（3×2ⁿ⁻²+1）×（3×2ⁿ⁻²+1）/（3×2ⁿ⁻¹+1））
=2ⁿ⁻¹（3+2）/（3×2ⁿ⁻¹+1）
=5×2ⁿ/（3×2ⁿ+2）
=5/3-10/（9×2ⁿ+6）
＜5/3
当n=1时，左边=5/4＜右边=³√4成立。
当n≥2时，右边＞5/3＞左边。
∴对n∈N*，左边都小于右边。
综上，命题得证。

追问

你算错了，log（2）（2ⁿ⁻¹）=n-1

追答

⊙﹏⊙b汗，..看错了
改正：
cn=3n-2
1+1/cn=（3n-1）/（3n-2），令1+1/cn=Dn，（1，n）∏（Dn）=Tn。
①当n=1时，T1=2＞³√4成立。
②假设当n=k时，Tk＞³√（3k+1）成立。
③当n=k+1时，只需T（k+1）＞³√（3k+4）
∵Tk＞³√（3k+1）
∴T（k+1）=Tk×D（k+1）＞³√（3k+1）×D（k+1）
故只需³√（3k+1）×D（k+1）≥³√（3k+4）
只需³√（3k+1）×（3k+2）/（3k+1）≥³√（3k+4）
只需（3k+4）（3k+1）²≤（3k+2）³
只需（3k+4）（3k+1）²-（3k+2）³≤0
只需-9k-4≤0
显然，成立。
∴联立①、②、③得对任意n∈N*都使命题成立。
综上，命题成立。