Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{an

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴q=3，b₁=1，
∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，
∴

c1

b1

=a₂，即c₁=b₁a₂=3，
又

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn?1

bn?1

=a_n（n≥2），
∴

cn

bn

=a_n+1-a_n=2（n≥2），
∴c_n=2b_n=2?3^n-1（n≥2），
∴c_n=

3，(n＝1) 2?3n?1(n≥2)

．
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=3+2?3+2?3²+…+2?3²⁰¹³
=3+2（3+?3²+…+3²⁰¹³）
=3+2?

3(1?32013)

1?3

=3²⁰¹⁴．