Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则：（1）AB=______；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的半径=______．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵F在AD上，∠EFC=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，
∴

AE

DF

＝

AF

DC

；
∵BE：EA=5：3
设BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴

3k

DF

＝

4k

8k

∴DF=6k
∴BC=AD=10k，
又∵BC=10，
∴k=1，
∴AB=8k=8；

（2）连接OB，由（1）可知BE=5，BC=10，
∴S_△EBC=

1

2

×10×5=25，
∵_^S△EBC=S_△OEB+S_△OBC，
∴

1

2

×BE×BC=

1

2

×BE×r+

1

2

×BC×r，
解得：r=

10

3

．
故答案为：8，

10

3

．