Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=-52x+b在

已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=-52x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n，不等式2+34+49+L+n+1n2＞ln(n+1)都成立．

Answer 1

（1）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=

1

x+a

-2x-1               …（1分）
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0                                    …（2分）
故

1

0+a

?2×0?1＝0解得a=1，经检验a=1符合题意．…（3分）
（2）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-

5

2

x+b，得ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，
则f（x）=-

5

2

x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）=0
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．…（4分）
φ′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

?(4x+5)(x?1)

2(x+1)

，…（5分）
当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在{0，1）上单调递增；
当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，
依题意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+

3

2

-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+

1

2

；           …（9分）
（3）f（x）=ln（x+1）-x²-x
的定义域为{x|x＞-1}，由（1）知
f（x）=

?x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0得，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）…（11分）
对任意正整数n，取x=

1

n

＞0得，ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

 …（12分）
∴ln（

n+1

n

）＜

n+1

n2

故2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln2