Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线C

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），当cosα=35，且旋转后点P的对应点P'恰好落在x轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）根据题意得

4a-2b+4=0 36a+6b+4=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3

．
所以抛物线的解析式为y=-

1

3

x2+

4

3

x+4．

（2）如图1，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．
设P（x，y），则CQ=x，PQ=4-y．
由题意可知：CQ'=CQ=x，P'Q'=PQ=4-y，∠CQP=∠CQ'P'=90°．
∴∠QCQ'+∠CQ'E=∠P'Q'F+∠CQ'E=90°．
∴∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴

4

5

x+

3

5

(4-y)=4．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

，x2=-2

5

（舍去）．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)．
如图2，过点Q的对应点Q'作EF⊥CD于点E，交x轴于点F．
设P（x，y），则CQ=-x，PQ=4-y．
可得∠P'Q'F=∠QCQ'=α．
又∵cosα=

3

5

，
∴EQ′=-

4

5

x，FQ′=

3

5

(4-y)．
∴-

4

5

x+4=

3

5

(4-y)．
∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+4，
整理可得

1

5

x2=4．
∴x1=2

5

（舍去），x2=-2

5

．
∴P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．
∴P(2

5

，

8 5 -8

3

)或P(-2

5

，-

8 5 +8

3

)．