Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（1）求异面直

如图，在三棱锥A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解答：（1）解：取AC的中点M，连接OM，ME，OE
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，EM＝

1

2

AB＝

2

2

，OE＝

1

2

DC＝1，
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
∴OM＝

1

2

AC＝1，
∴cos∠OEM＝

2

4

．
（2）解：设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE
∴

1

3

h?S△ACD＝

1

3

?AO?S△CDE，
在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝

2

，
∴S△ACD＝

1

2

×

2

×

22?( 2 2 )2

＝

7

2

，
而AO＝1，S△CDE＝

1

2

×

3

4

×22＝

3

2

∴h＝

AO?S△CDE

S△ACD

＝

21

7

，
∴点E到平面的距离为

21

7

．