Question

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（　　

已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为（　　）A．433cm2B．43cm2C．233cm2D．23cm2

Answer 1

∵梯形ABCD是等腰梯形，CD∥AB，
由SAS可证△DAB≌△CBA，
∴∠CAB=∠DCA=30°，
∵∠CAB=30°，又因为AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴CD=AD=BC=4cm，
∴AC²=AB²-BC²，
∴AC=4

3

cm，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD=4

3

cm，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4

3

=8

3

cm²，
设DO为x，则CO=x，则AO=BO=（4

3

-x）cm，
在Rt△COB中，CO²+BC²=BO²，
即：x²+4²=（4

3

-x）²
∴D0=

4 3

3

cm，
∴S_△ADO=

1

2

×

4 3

3

×4=

8 3

3

，
∴S_△AOB=S_△ABC-S_△ADO=

16 3

3

∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴（

DC

AB

）²=

S△DOC

S△AOB

∴S_△DOC=

4 3

3

，
故选A．