Question

设△ABC中,a,b,c分别是∠A、∠B、∠C所对应的边,若∠B=2∠A,求证:a/b=(a+b)/(a+b+c)

Answer 1

∠B=2∠A
sinB=sin2A
sinB=2sina*cosA
sinB/sinA=2cosA
b/a=2(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
a^3-ab^2-ac^2+b^2c=0
a^3-ab^2-ac^2+b^2c+a^2c-a^2c=0
(a^3-ab^2+a^2c)-(ac^2-b^2c+a^2c)=0
a(a^2-b^2+ac)-c(a^2-b^2+ac)=0
(a-c)(a^2-b^2+ac)=0
a=c或(a^2-b^2+ac)=0
a=c其实也是正确解，即以B为直角的等腰直角三角形，但因为不是要证明的，所以舍去。
即a^2-b^2+ac=0
b^2=a^2+ac
b^2+ab=a^2+ac+ab
b(a+b)=a(a+b+c)
则：a/b=(a+b)/(a+b+c)。
证毕。

Answer 2

∵∠B＝2∠A
∴a／b＝sinA／sinB＝sinA／2sinAcosA＝1／2cosA
又：cosA＝(b²＋c²－a²)／2bc
∴a／b＝1／2cosA＝bc／(b²＋c²－a²)
即：ab²＋ac²－a³＝b²c ①
证明：a／b＝(a＋b)／(a＋b＋c)
即证：a²＋ac＝b²
亦即证：a²c＋ac²＝b²c
∵b²c＝ac²＋ab²－a³
∴即证：ab²－a³＝a²c → b²－a²＝ac → sin²B－sin²A＝sinAsinC
等号左边：
sin²B－sin²A＝sin²2A－sin²A
等号右边：
sinAsinC＝sinAsin(π－3A)
＝sinAsin3A
＝sinA(sinAcos2A＋cosAsin2A)
＝sin²A(2cos²A－1)＋sinAcosAsin2A
＝2sin²Acos²A－sin²A＋½sin²2A
＝½sin²2A－sin²A＋½sin²2A
＝sin²2A－sin²A
＝等号左边
证明完毕