Question

线性代数题，求详细解析

在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C , 则恰有 __ 个3阶
正交矩阵A , 使得线性变换 X →A X 保持C整体不变(顶点映成顶点),
这些正交矩阵中又恰有 ___ 个矩阵迹等于0 .

答案是48；16

Answer 1

这个问题本质上是立方体的空间对称群

首先，对于任何一个3阶正交阵，把它所有元素变号得到的行列式也变号，这个映射是一个双射，所以我们只需要考虑行列式为1的正交阵
然后按特征值进行分类，有三种情况
(a) 特征值是1，1，1，即单位阵
(b) 特征值是1，-1，-1
(c) 实特征值是1，虚特征值是exp(±iθ)
(b)和(c)两类可以合并成恰有一个特征值为1，它们对应于一个空间旋转，以1的特征向量为转轴，逆时针旋转角度为θ（-1，-1对应于θ=π的情况）
问题就归结为哪些旋转变换可以保持立方体不变

先看(b)类，即旋转π的变换，这里有两类
(b-1) 把立方体相对的面的中心连线作为转轴，有3条这样的轴（其实还可以转π/4，归到(c)类）
(b-2) 把立方体相对的棱的中心连线作为转轴，有6条这样的轴
再看(c)类，也有两种类型
(c-1) 把立方体相对的面的中心连线作为转轴，旋转π/4或者3π/4，有3条这样的轴
(c-2) 把立方体的主对角线作为转轴，旋转2π/3或者4π/3，有4条这样的轴

所以(a)类有1个，(b)类有9个，(c)类有14个，总共24个旋转变换
再加上行列式为-1的24个就是48个正交变换

至于迹为0的，也可以看特征值
只有旋转2π/3和4π/3的旋转变换可以得到1，-1/2±3^{1/2}i/2这样的特征值，共有8个
再加上行列式为-1的8个就是16个迹为0的正交变换