Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax 2 +ax-2经过点。（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP 仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（-3，1）； （2）抛物线y=ax 2 +ax-2经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2， 解得a= ， 所以抛物线的解析式为 ； （3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点； 则延长BC至点P 1 ，使得P 1 C=BC，得到等腰直角三角形△ACP 1 ， 过点P 1 作P 1 M⊥x轴， ∵CP 1 =BC，∠MCP 1 =∠BCD，∠P 1 MC=∠BDC=90°， ∴△MP 1 C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P 1 M=BD=1，可求得点P 1 （1，-1）； ②若以点A为直角顶点； 则过点A作AP 2 ⊥CA，且使得AP 2 =AC，得到等腰直角三角形△ACP 2 ， 过点P 2 作P 2 N⊥y轴，同理可证△AP 2 N≌△CAO， ∴NP 2 =OA=2，AN=OC=1，可求得点P 2 （2，1）， 经检验，点P 1 （1，-1）与点P 2 （2，1）都在抛物线 上。