Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC。 （

如图，已知⊙O的半径为4，CD为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC。 （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积。

Answer 1

（1）证明见解析；（2） ；（3） .

试题分析：（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可； （2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度； （3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积． 试题解析：（1）证明：如图，连接OA． ∵AB=AC，∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠AOB=2∠ACB=60°， ∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）解：如图，连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DAC=90°． ∵由（1）知，∠ACB=30°， ∴AD=  CD=4， 则根据勾股定理知AC= . 即弦AC的长为 . （3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC= 则S △ADC = AD?AC= ×4× = ． ∵点O是△ADC斜边上的中点， ∴S △AOC = S △ADC = . 根据图示知，S 阴影 =S 扇形ADO +S △AOC = ， 即图中阴影部分的面积是 ． 考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算．