Question

已知函数f（x）=2 x ，g（x）=-x 2 +2x+b（b∈R），记 h(x)=f(x)- 1 f(x) ．（Ⅰ）判断h（x）

已知函数f（x）=2 x ，g（x）=-x 2 +2x+b（b∈R），记 h(x)=f(x)- 1 f(x) ．（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x 1 ，x 2 ∈[1，2]，使得f（x）≤f（x 1 ），g（x）≤g（x 2 ）．若f（x 1 ）=g（x 2 ），求实数b的值；（Ⅲ）若2 x h（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（本小题满分14分） （Ⅰ）函数 h(x)= 2 x - 1 2 x 为奇函数…（2分） 现证明如下： ∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分） 由 h(-x)= 2 -x - 1 2 -x = 1 2 x - 2 x =-( 2 x - 1 2 x )=-h(x) …（5分） ∴函数 h(x)= 2 x - 1 2 x 为奇函数…（6分） （Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x） max =f（x 1 ），g（x） max =g（x 2 ）…（7分） ∵f（x）=2 x 在区间[1，2]上单调递增， ∴ f(x ) max =f(2)= 2 2 =4 ，即f（x 1 ）=4…（8分） 又∵g（x）=-x 2 +2x+b=-（x-1） 2 +b+1 ∴函数y=g（x）的对称轴为x=1 ∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减 ∴g（x） max =g（1）=1+b，即g（x 2 ）=1+b…（9分） 由f（x 1 ）=g（x 2 ）， 得1+b=4，∴b=3…（10分） （Ⅲ）当x∈[1，2]时， 2 x ( 2 2x - 1 2 2x )+m( 2 x - 1 2 x )≥0 即m（2 2x -1）≥-（2 4x -1）， ∵2 2x -1＞0，∴m≥-（2 2x +1）…（12分） 令k（x）=-（2 2x +1），x∈[1，2] 下面求函数k（x）的最大值． ∵x∈[1，2]，∴-（2 2x +1）∈[-17，-5]， ∴k（x） max =-5…（13分） 故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）