Question

已知函数 ，x∈（0，+∞），（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2

已知函数 ，x∈（0，+∞），（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2。

Answer 1

解：（1）当a=8时， ， 求得 ， 于是当x∈ 时，f′（x）≥0；而当x∈ 时，f′（x）≤0， 即f（x）在 中单调递增，而在 中单调递减． （2）对任意给定的a＞0，x＞0，由 ， 若令 ，则abx=8， ① 而 ， ② （一）、先证f（x）＞1；因为 ， 又由 ，得 ， 所以 ； （二）、再证f（x）＜2； 由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2， （ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5， 因为 ， ， 此时 ； （ⅱ）当a+b＜7，③ 由①得， ， 因为 ， 所以 ， ④ 同理得 ， ⑤ 于是 ， ⑥ 今证明 ， ⑦ 因为 ， 只要证 ，即 ， 也即a+b＜7，据③，此为显然．

Answer 2