Question

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A

如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A?B?C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线y＝?14x2+bx+c经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标；（3）当0＜t≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(?b2a，4ac?b24a)．

Answer 1

（1）由抛物线经过点A（0，1），C（2，4），
得

c＝1 ? 1 4 ×22+2b+c＝4

，
解得

b＝2 c＝1

，
∴抛物线对应的函数关系式为：y=-

1

4

x²+2x+1．

（2）当t=1时，P点坐标为（1，1），
∴Q点坐标为（2，0）．
当t=4时，P点坐标为（2，3），
∴Q点坐标为（5，0）．

（3）∵0＜t≤5，
当0＜t≤2时，S=

1

2

（-

1

4

t²+2t+1-1）×1，
S=-

1

8

t²+t=-

1

8

（t-4）²+2，
∵t=4不在0＜t≤2中，
∴当t=2时（如图所示），S的最大值为1.5；
当2＜t≤5时，S=

1

2

（5-t）（2+t-2+1-2），
S=-

1

2

t²+3t-

5

2

=-

1

2

（t-3）²+2，
因此当t=3时，S的最大值为2．
综上所述，S的最大值为2．