Question

（2012?河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的

（2012?河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积．

Answer 1

（1）取AD中点F，连接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC=

AB

cos60°

=2
又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE?面CEF，∴CE∥平面PAB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC
过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC
∴EH∥CD
Rt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD=

AD2?AC2

=2

3

∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=

1

2

CD=

3

∵PA⊥AC，∴S_Rt△PAC=

1

2

×2×2=2
因此，三棱锥E-PAC的体积V=

1

3

S_△PAC×EH=

2 3

3