在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为2．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△AB
在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为2．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．...
在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为2．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．
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（Ⅰ）利用正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a2-c2=ab-b2，
变形得：a2+b2-c2=ab，
∴cosC=
=
，
又C为三角形的内角，
则C=
；
（Ⅱ）∵
=
，又c=2rsinC=2×
×
=
，
∴ab=a2+b2-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴当a=b=
时，（ab）max=6，
∴S△ABC=
absinC=
ab≤
变形得：a2+b2-c2=ab，
∴cosC=
| a2+b2?c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
又C为三角形的内角，
则C=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵
| a2+b2?c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
∴ab=a2+b2-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴当a=b=
| 6 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
3
|
