Question

（2011?安徽模拟）已知：如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．（1

（2011?安徽模拟）已知：如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．（1）求证：DE=DB；（2）当点A在优弧BC上运动时，若DE=2，DF=y，AD=x，求y与x之间的函数关系．

Answer 1

解答：解：（1）连接BE，
∵E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵弧DC=弧DC，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD；

（2）由（1）得∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDA为共公角，
∴△BDF∽△ADB，
∴

BD

AD

＝

DF

BD

，
∴BD²=AD×DF，
∵DF=y，AD=x，DE=2，
∴xy=4，
∴y与x之间的关系式y=

4

x

．