Question

已知函数f(x)＝1?xax+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f

已知函数f(x)＝1?xax+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞12+13+14+…+1n．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

1?x

ax

+lnx∴f'（x）=

ax?1

ax2

（a＞0）…1
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=

ax?1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0f′(x)＝

a(x? 1 a )

ax2

＝

x? 1 a

x2

，x＞0，
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时，f′(x)＞0?x＞

1

a

，f′(x)＜0?x＜

1

a

∴f（x）的增区间为(

1

a

，+∞)，减区间为（0，

1

a

）…6
（3）当a=1时，f（x）=

1?x

x

+lnx，f'（x）=

x?1

x2

，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n?1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（

n

n?1

）=

1? n n?1

n n?1

+ln

n

n?1

=-

1

n

+ln

n

n?1

＞0，即ln

n

n?1

＞

1

n

∴lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n?1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n