Question

已知函数f(x)=x�0�5+ax+b,当p，q满足p+q=1时，试证明

pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1

Answer 1

题目中的f(x)=x^+ax+b，缺少幂，我是按f(x)=x^2+ax+b解答的。
证明：
pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
(将f(x)=x^2+ax+b代入化简，且用到了p+q=1)等价与
(p^2-p)x^2+2pqyx+(q^2-q)y^2<=0 (*)
(1) 必要性：
上面不等式左边可以看成关于x的一元二次方程，
若是该方程恒<=0，则该方程图像应开口向下，
故(p^2-p)<=0,解得0<=p<=1。
(2) 充分性：
当p=0或1时，(*)式成立（可以自己计算）
令g(x)=(p^2-p)x^2+2pqyx+(q^2-q)y^2
由0<p<1知g(x)开口向下，所以g(x)在顶点处
取得最大值。此时x1=-2pqy/2(p^2-p)
故：g(x)<=g(x1)
化简得g(x1)=pq(1-p-q)y^2/(p^2-p)
又p+q=1 则g(x1)=0
即：g(x)<=0 (*)式成立
所以当0<=p<=1时，(*)式成立。
综上得证。

Answer 2

连结A(x,f(x)),B(y,f(y)),过(px+qy,0)作x轴的垂线,交抛物线于C(px+qy,f(px+qy)),交线段AB于D(px+qy,pf(x)+qf(y))~当p+q=1且0≤p≤1 时,点(px+qy,0)在(x,0)与(y,0)之间,此时C始终在D下方,即有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)~而要使pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立,那么点(px+qy,0)必须在(x,0)与(y,0)之间,当p+q=1时必须有0≤p≤1 ~